Een wetenschappelijke vraag?

‹ Terug naar de zoekresultaten

Hoe los ik dit vraagstuk met cirkels op? Het lukt me maar niet.

Thema: Wiskunde

Vraag gesteld door: S. (25 jaar)

Context van de vraag:

Ik heb dit vraagstuk al een tijdje liggen maar ik geraak er niet uit ik zou tot 14 cijfers na de komma moeten hebben.

Antwoord:

Vraag 1

Stel:     R = de straal van de grote cirkel
           r1 = de straal van de grote inwendige cirkel
           r2 = de straal van de kleine inwendige cirkel

Verder kan je eenvoudig zien dat 2.r1 + 2.r2 = 2.R ⇒ r1 + r2 = R                    (1)

Als je de grijze oppervlakte te weten wil komen, dan moet je dus de oppervlakte van de twee witte cirkels aftrekken van de oppervlakte van de grote cirkel:

Oppervlakte = pi.R2 - pi.r12 - pi.r22
                  = 2.pi.r1.r2                    (2)

Die laatste gelijkheid (2) kan je bekomen door eigenschap (1) te gebruiken, en het dubbelproduct uit te werken. Nu moet je dus nog r1.r2 bepalen. Dit kan je doen met behulp van de stelling van Pythagoras. In de groene, rechthoekige driehoek waarvan het linkse hoekpunt samenvalt met het middelpunt van de grote cirkel (zie de bijgevoegde figuur) heeft de horizontale zijde een lengte van R - 2.r2. De verticale zijde heeft een lengte van 1/2 (gegeven) en de schuine zijde heeft een lengte R (gedefinieerd). De som van de kwadraten van de rechthoekszijden is gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde in een rechthoekige driehoek, dus:

(R - 2.r2)2 + (1/2)2 = R2

Als je het dubbelproduct uitwerkt vind je:

-4.R.r2 + 4.r22 + 1/4 = 0

Gebruik nu nog eens eigenschap (1):

-4.(r1 + r2).r2 + 4.r22 + 1/4 = 0
⇒ 4.r1.r2 = 1/4
⇒ r1.r2 = 1/16

De oppervlakte (2) wordt dus gegeven door:

Oppervlakte = 2.pi.r1.r2 = pi/8

Vraag 2

Je kan zien dat de straal van de grote cirkels gelijk is aan pi/2. Vervolgens kan je de stelling van Pythagoras toepassen in de groene driehoek (gevormd door de middelpunten van de kleine cirkel, de grote cirkel, en het vierkant). Deze driehoek heeft de volgende zijdes:

horizontaal: pi - b
verticaal: pi/2
schuin: pi/2 + b

Die laatste lengte volgt uit het feit dat een lijnstuk met eindpunten in het middelpunt van een cirkel en op de cirkel, loodrecht staat op de raaklijn aan de cirkel in dit punt. Gezien beide cirkels elkaar raken, geldt dus dat de schuine zijde de som is van de stralen van beide cirkels.

De stelling van Pythagoras toepassen levert:

(pi - b)2 + (pi/2)2 = (pi/2 + b)2
⇒ pi2 - 2.pi.b + b2 + pi2/4 =  pi2/4 + pi.b +b2
⇒ pi2  =  3.pi.b 
⇒ b = pi/3

 

Deze vraag werd beantwoord door:
Ir. Michiel Gossye

Universiteit Gent

  • Richting Morgen
  • WetenschapsInformatieNetwerk
  • FRIS Onderzoeksportaal
  • EWI